Apple-ID geht weder an- noch abmelden

Seitdem ich mein iPhone 6 mit einem BackUp wiederhergestellt habe, bin ich, so wie vorher auch mit meiner Apple-ID dort angemeldet. Allerdings nicht richtig. Das heißt, dass ich beispielsweiße nicht auf GameCenter oder iCloud Speicherverwaltung zugreifen kann. FaceTime oder iMessage hingegen funktioniert. Wenn ich mich dann versuche von meiner Apple-ID abzumelden, geschieht nichts. Stattdessen werde ich aufgefordert mein Passwort einzugeben, um mich einzuloggen, aber auch das bringt nichts.

Ich habe bereits über meinen Mac versucht meine Apple-ID von meinem iPhone zu löschen, aber dort wird immer noch angezeigt, dass ich (mehr oder weniger) eingeloggt sei..

Hat jemand eine Idee, was man noch versuchen könnte, außer das ganze Gerät zurückzusetzen?

Das ist nämlich auch nicht so einfach, da ich kein BackUp mehr auf meinem Mac vom iPhone erstellen kann..