Macbook Startschwierigkeiten

Hallo,
ich habe mit meinem Macbook Air 11 Mid2011 (1,8 GHz Intel Core i7) folgendes Problem:
Lasse ich das Macbook bis zur völligen Erschöpfung des Akkus laufen, so dass es sich mit schwarzem Bildschirm verabschiedet, bekomme ich es nicht mehr ohne weiteres wieder zum starten - natürlich dann am Netzteil. Lasse ich das Macbook die Nacht über am Netzteil, ändert das am Zustand nichts - es startet nicht - alles tot. Ich hatte zuerst einen defekten Akku in Verdacht und habe diesen ausgetauscht. Ohne Erfolg. Aber nun kommt das kuriose: Schraube ich das Macbook in diesem toten Zustand auf und trenne den Akku kurz vom Macbook, ist wieder alles ok, das Macbook fährt hoch und die Akkuanzeige steht auf 100%.
Hat irgendjemand eine Idee, was das sein könnte? Gibt es irgend einen Controler, der die Energiezufuhr regelt und defekt sein könnte?
beste Grüße
Tim