Das Backup wird auf dem Computer gespeichert, der Ort wird auch in dem Artikel iPhone-, iPad- und iPod touch-Backups finden - Apple Support beschrieben.
Vielleicht wäre es gut, ein verschlüsseltes Backup vom jetzigen Stand auf dem jetzt benutzten Computer zumachen, damit hätte man Passwörter und andere Daten gesichert, um nach dem Backup vom alten Computer wieder alles auf den heutigen Stand zu bekommen.
Wenn die alten Kontaktdaten auf dem iPhone erscheinen, könnte man diese Informationen mit iCloud synchronisieren, dann das iPhone auf dem neuen Computer wiederherstellen und über iCloud "Kontakte" aktivieren. Danach sollten die alten Kontaktdaten auch auf dem neuen Stand sein.