Hast Du das iPhone mal neugestartet?
Ansonsten versuche mal Dich unter "Einstellungen" - "iTunes & App Stores" abzumelden (einfach auf Deine AppleID klicken und dann abmelden).
Anschließend öffne den App Store und lade eine neue App herunter. Nach der Eingabe der Apple-ID-Zugangsdaten sollte dann hoffentlich der Download beginnen.
Es könnte auch an falschen oder abgelaufenen Kreditkarten bzw. Zahlungsinformationen liegen. Diese lassen sich auf dem iPhone unter den "Einstellungen" - "iTunes & App Stores" - "Apple-ID: name@example.com" - "Apple-ID anzeigen" - "Zahlungsdaten überprüfen" einsehen.