Das Gerät hat ja anscheinend noch Garantie, daher würde ich bei einem autorisierten Apple Service Provider in der Nähe durchgehen und das Gerät dort vorführen.
Zuvor aber, auch wenn es zeitaufwändig ist, würde ich das iPhone auf die Werkseinstellungen zurücksetzen und ohne Backup die Sache mit dem Kopfhörermodus testen.
iPhone, iPad oder iPod touch auf die Werkseinstellungen zurücksetzen - Apple Support
Wurden denn die mitgelieferten Kopfhörer für das iPhone benutzt?
Es gab in der Vergangenheit Fälle, da haben Kopfhörer von Drittanbietern die Anschlüsse in der Kopfhörerbuchse verbogen, dadurch haben die Sensoren auch bei gezogenem Stecker den Lautsprecher ausgeschaltet gelassen.
Bei manchen Nutzern hatte es dann geholfen, den Stecker einige Male aus- und einzustecken, bis der externe Lautsprecher wieder angesteuert wurde.