Guten Morgen Sorbas,
wenn Du Apple One Premium aktiv hast, sollte das Apple-TV-Streamingabo grundsätzlich darin enthalten sein. In der Apple-Übersicht zu Apple One Premium ist Apple TV bereits Bestandteil des Pakets; die dort genannten 9,99 €/Monat sind der Einzelpreis von Apple TV, nicht automatisch eine zusätzliche Gebühr.
I. Erst die genaue Abbuchung prüfen
Wichtig ist jetzt die genaue Bezeichnung der Abbuchung. Schau bitte nicht nur unter:
Einstellungen → Dein Name → Abonnements
sondern auch im Kaufverlauf bzw. auf der Apple-Rechnung nach.
Den Kaufverlauf kannst Du über reportaproblem.apple.com prüfen. Wenn dort zusätzlich zu Apple One Premium noch ein einzelnes Apple-TV-Abo für 9,99 € steht, wäre das der entscheidende Hinweis.
Falls es dagegen ein Kauf- oder Leihfilm, ein Apple-TV-Kanal oder ein Abo über einen anderen Anbieter ist, kann das getrennt berechnet werden.
II. Gleichen Apple Account prüfen
Apple One Premium und Apple TV müssen dem Apple Account zugeordnet sein, mit dem Du die Apple TV App nutzt.
Wenn Apple One Premium auf einem Account läuft, Apple TV aber auf einem anderen Account erneut abgeschlossen wurde, kann genau so eine doppelte oder falsche Zuordnung entstehen. Deshalb lohnt sich der Blick in die Apple-Rechnung: Dort ist erkennbar, welcher Apple Account für die Abbuchung verwendet wurde.
III. Rückerstattung richtig einordnen
Dass Apple TV nach der Rückerstattung nicht mehr funktioniert hat, kann bedeuten, dass damit das separat berechnete Apple-TV-Abo beendet wurde. Offen bleibt dann aber, warum Apple TV nicht über Apple One Premium freigeschaltet war.
Deshalb würde ich jetzt nicht weiter kündigen oder erneut neu abonnieren, sondern die Zuordnung direkt mit Apple klären lassen.
IV. Dem Support den Fall konkret schildern
Ich würde Apple unter der Telefonnummer 0800 6645 451 (Deutschland) noch einmal mit genau diesen Punkten kontaktieren:
Apple One Premium ist seit Anfang des Monats aktiv. Trotzdem wurde Apple TV separat mit 9,99 € berechnet. Nach der Rückerstattung war Apple TV nicht mehr nutzbar. Danach wurde Apple TV erneut abgeschlossen und erneut berechnet. Bitte prüfen, ob Apple One Premium und Apple TV unter demselben Apple Account laufen oder ob ein separates Apple-TV-Abo, ein Apple-TV-Kanal, ein anderer Anbieter oder die Familienfreigabe beteiligt ist.
Offizielle Apple-Infos zum Nachlesen:

Apple One – Apple (DE):
Apple One - Apple (DE)
Kaufverlauf und unbekannte Abbuchungen prüfen:
Bestellverlauf für den App Store und andere Apple-Mediendienste anzeigen - Apple Support (DE)
Kurz gesagt: Apple TV sollte bei Apple One Premium grundsätzlich enthalten sein. Wenn trotzdem 9,99 € berechnet werden, ist der nächste sinnvolle Schritt nicht ein weiterer Neuabschluss, sondern die Prüfung von Rechnung, Apple Account und Abo-Zuordnung durch den Support.