Hallo HansB165,
wenn Zurücksetzen und Neueinrichtung nichts geändert haben, würde ich als Nächstes die Verbindung selbst eingrenzen.
Falls dein Apple TV 4K einen Ethernet-Anschluss hat: Verbinde es testweise direkt per LAN-Kabel mit dem Router. Apple TV nutzt dann automatisch Ethernet statt WLAN. Wenn der App Store damit sofort lädt, liegt die Ursache eher im WLAN oder in einer Routereinstellung für genau dieses Gerät.
Wenn es auch per Ethernet extrem langsam bleibt, würde ich im Router prüfen, ob für das Apple TV Einschränkungen aktiv sind, zum Beispiel Kindersicherung, Gerätefilter, feste IP-/DNS-Regeln oder eine blockierte Verbindung.
Zusätzlich bitte einmal auf dem Apple TV prüfen, ob Datum/Uhrzeit korrekt sind und ob unter Einstellungen > System > Softwareupdates ein tvOS-Update angeboten wird.
Apple beschreibt den LAN-Test hier ebenfalls als sinnvollen Schritt:
Wenn Apple TV keine Verbindung zum WLAN herstellen kann - Apple Support (DE)