Hallo BertF,
das MacBook Air wird nicht über die Liste „Autorisierte Geräte“ freigeschaltet. Für gekaufte Musik bzw. andere geschützte Medien erfolgt die Autorisierung direkt in der jeweiligen App auf dem Mac.
Wenn es um Inhalte in der Musik-Mediathek geht, öffne auf dem MacBook Air die App Musik und wähle oben in der Menüleiste:
Account → Autorisierungen → Diesen Computer autorisieren
Danach meldest du dich mit dem Apple Account an, mit dem die betreffenden Inhalte gekauft wurden.
Wichtig ist die Unterscheidung: Die unter deinem Apple Account angezeigten Geräte und die für Käufe autorisierten Computer sind nicht dieselbe Liste. Deshalb muss das MacBook dort nicht als neue auswählbare Option erscheinen.
Falls „Diesen Computer autorisieren“ ausgegraut ist oder eine Fehlermeldung erscheint, wäre der genaue Wortlaut hilfreich. Dann lässt sich gezielter eingrenzen, ob beispielsweise bereits die maximale Zahl autorisierter Computer erreicht ist oder ein anderer Apple Account für die betreffenden Käufe verwendet wurde.
Bei Bedarf / zum Nachlesen:
Computer für Käufe mit deinem Apple Account autorisieren oder deautorisieren - Apple Support (DE)
Beste Grüße & viel Erfolg 🌺