Hallo Niklas,
ergänzend zu Karolines Hinweisen würde ich noch einen einfachen Gegencheck machen:
Falls möglich, verbinde die Magic Mouse testweise mit einem anderen Mac oder iPad. Bleibt die Verbindung dort stabil, lässt sich das Problem eher auf dein MacBook Air eingrenzen. Bricht sie auch dort nach wenigen Sekunden wieder ab, würde ich eher bei der Maus selbst beziehungsweise ihrer Stromversorgung ansetzen.
Bei einer neueren Magic Mouse würde ich zuvor noch Karolines Hinweis mit der Kabelverbindung ausprobieren, weil sie dadurch direkt mit dem Mac neu gekoppelt wird.
Weitere Eingriffe in die Bluetooth-Konfiguration würde ich im Moment noch nicht vornehmen.
Beste Grüße & viel Erfolg 🌺