Hola danielgonza!!
Entiendo que has seguido las instrucciones de esta web de Apple para usar Continuidad: Usar Continuidad para conectar tu Mac, iPhone, iPad, iPod touch y Apple Watch - Soporte técnico de Apple, en la sección:
Configurar la mensajería SMS y MMS
Puedes utilizar esta función en cualquier Mac, iPhone, iPad o iPod touch que cumpla con los requisitos del sistema para Continuidad. Asegúrate de que los dispositivos están configurados de la siguiente manera:
- Todos los dispositivos tienen una sesión iniciada en iCloud con el mismo ID de Apple.
- En el iPhone, ve a Ajustes > Mensajes > Enviar y recibir. Asegúrate de que el ID de Apple que aparece en la parte superior de la pantalla es el mismo que utilizas en iMessage en otros dispositivos. Añade una marca de verificación a tu número de teléfono o a tu dirección de correo electrónico para poder recibir mensajes de iMessage en ambos. Haz lo mismo en el iPad o el iPod touch.
- En el iPhone, ve a Ajustes > Mensajes > Reenvío de mensajes de texto y selecciona los dispositivos a los que quieres permitir enviar y recibir mensajes de texto desde este iPhone. Si no utilizas autenticación de doble factor para tu ID de Apple, aparecerá un código de verificación en tus otros dispositivos que deberás introducir en el iPhone.
- En el Mac, abre Mensajes y, a continuación, selecciona Mensajes > Preferencias. Haz clic en Cuentas y selecciona la cuenta iMessage. Asegúrate de que el ID de Apple que se muestra es el mismo que utilizas en otros dispositivos. Añade una marca de verificación a tu número de teléfono o a tu dirección de correo electrónico.
¿Tienes activada la Autenticación de doble factor?.
Revisa tus dispositivos de confianza según las instrucciones de esta otra web oficial: Configura tus dispositivos para poder usar la autenticación de doble factor - Soporte técnico de Apple
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!