El procedimiento sería el siguiente.
Hacer una copia (o verificar que se tiene) del iPhone que tienes ahora. Si lo haces en iTunes mirar en las Preferencias >> Dispositivos. Si la haces en iCloud mirar en Ajustes >> iCloud >> Copia de seguridad en iCloud >> y mirar la fecha de la última copia.
Evidentemente tienes que tener iCloud activado y con los servicios (Calendario, contactos, Notas, etc...) activados.
Luego enciendes el nuevo, y cuando te pregunte si quieres restablecer alguna copia de seguridad le indicas que sí (de iTunes o de iCloud).
Esperar a que se restaure la copia y listo.
p.d. para restaurar la copia necesitas que el nuevo tenga la misma versión de iOS o posterior. Si es que el nuevo no está actualizado a iOS 10.3 tendrás que hacerlo antes de restaurar la copia. Para ello... arrancas normal , no restauras la copia... actualizas el sistema y cuando arranque, en ajustes >> General >> Restablecer >> Borrar todo el contenido y ajustes (o algo así).
Suerte!