Hola Martín.coro !!
Ante todo te recomiendo que actualices tu iPhone, si aún no lo tienes actualizado. Las actualizaciones de software de Apple normalmente incluyen tecnologías avanzadas de ahorro de energía. En esta web de Apple tienes las formas de actualizar tu iPhone: Actualizar el software iOS en tu iPhone, iPad o iPod touch
Con respecto a tu primera pregunta, ¿entiendo que el iPhone se apaga aún teniendo bastante porcentaje de batería?.
Si observas un comportamiento extraño de la batería, las baterías, tienen un número limitado de ciclos de carga y, pasado un tiempo, puede ser necesario repararlas. Tu batería debería conservar hasta un 80 % de su capacidad original tras 500 ciclos completos de carga. Si últimamente cargas tu dispositivo con más frecuencia, igual tienes que cambiarla.
Echa un vistazo a esta web de Apple: Baterías de iones de litio de Apple
Encontrarás toda la información necesaria acerca de las baterías.
En este apartado: Ventajas de los iones de litio, tienes la información de los ciclos de carga y descarga.
En este otro: Más autonomía y vida útil de la batería, encontrarás consejos para mejorar el rendimiento de la batería.
Aquí: Identificar accesorios con conector Lightning falsificados o que no cuenten con certificación, hay una guía para identificar accesorios con conector Lightning falsificados o que no cuenten con certificación.
Y por último, en esta web oficial: Reparación de la batería y la alimentación del iPhone, podrás consultar los detalles de la reparación de tu batería.
Por lo de tu segunda pregunta, echa un vistazo a esta web de Apple: Utilizar Touch ID en el iPhone y el iPad - Soporte técnico de Apple. Están las instrucciones de como configurar y usar el Touch ID.
En esta otra web oficial: Obtener ayuda acerca de Touch ID en el iPhone o iPad - Soporte ..., encontrarás varias instrucciones para intentar solucionar problemas con el Touch ID.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!