Hola,
En ese otro dispositivo, posiblemente no cerraras sesión como pensabas. Sigue estos pasos: iCloud: Eliminar tu dispositivo de Buscar mi iPhone
Ajustes > [tu nombre] > iCloud (o Ajustes > iCloud) y desactiva Buscar mi [Dispositivo]. Desactiva Fotos y cierra sesión en iCloud de nuevo.
Si ya no vas a usar ese dispositvo, puedes restaurarlo de fábrica.
Si quieres utilizarlo pero con el mismo id de Apple, para que no se copien las fotos, simplemente desactiva la fototeca y todo lo que no quieras compartir en iCloud. No sería necesario desactivar Buscar mi iPhone, borrarlo de iCloud o restaurarlo.
Saludos.