Hola salsaverde!!
Además de las buenas recomendaciones del compañero vikoy, ¿entiendo que el iPhone está bloqueado?. Si es así, iTunes pide desbloquearlo para sincronizarlo, así que, si no puedes introducir el código de desbloqueo por que la pantalla está rota, no podrás sincronizar el iPhone con iTunes.
Otra opción es la copia de seguridad automática en iCloud. ¿La tienes activada?. Si es así, conecta tu iPhone a una red Wi-Fi, enchúfalo a la corriente y bloquéalo. Así se hará una copia de seguridad en iCloud. No podrás saber cuando está echa, así que haz dicha operación por la noche, que seguramente la hará, siempre que tengas espacio suficiente en iCloud. ¿Lo tienes?.
Si nada de lo anterior te funciona, debes reparar el iPhone y cambiarle la pantalla. Si no tienes una copia de seguridad, quizás pierdas la información que no se estaba guardando en iCloud, ya que al cambiar alguna pieza se restaura el dispositivo.
Llévalo a reparar a un Apple Store o servicio autorizado. En esta web de Apple: Tiendas Apple Store y Distribuidores autorizados de Apple, encontrarás el más cercano a tu región. Si no tienes uno cerca, contacta con el soporte técnico de Apple para obtener ayuda. Desde este enlace puedes hablar con ellos: Contactar con el Soporte técnico de Apple. Escoge tu región en la zona inferior de la página. Y aquí: Ponerse en contacto con Apple, están los teléfonos del soporte técnico de Apple en todo el mundo. Llama al más cercano a tu región.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!
Saludos vikoy!!