Hola Dave72!!
No solemos recomendar el bajar de versión de sistema operativo. Las nuevas versiones incluyen mejoras de seguridad y de estabilidad, además de nuevas funciones.
Además, Apple ya ha dejado de firmar las versiones anteriores, así que ya no se pueden instalar.
Tu iPhone 5S soporta iOS 11, así que, si no va bien la nueva versión, es posible que se deba a algún tipo de inconveniente de software.
Restáuralo con iTunes en un ordenador.
Usa un cable original que esté en buen estado para conectar el dispositivo a iTunes.
Verifica que tienes actualizado tanto el ordenador que uses como iTunes y, si usas un PC, cierra todos los programas y desactiva el antivirus mientras trabajes con el dispositivo conectado. No te olvides de volverlo a activar una vez que acabes de gestionar el dispositivo.
Primero haz una copia de seguridad, para tener tus datos guardados: Cómo hacer una copia de seguridad del iPhone, iPad ... - Apple Support
En esta web de Apple tienes los detalles de cómo restaurar un dispositivo iOS: Restaurar tu iPhone, iPad o iPod a los ajustes de fábrica - Soporte técnico de Apple
Después le puedes restaurar la copia de seguridad, siguiendo los pasos de esta otra web oficial: Restaurar el iPhone, iPad o iPod touch desde una copia de seguridad ...
Prueba y nos cuentas.
Saludos!!