Hola juan_ecf_9!!
Por lo AirPlay, echa un vistazo a esta web de Apple: Usar AirPlay o Duplicar pantalla en el iPhone, iPad o ... - Apple Support. Están las instrucciones para configurar y usar AirPlay.
En esta otra web de Apple: Obtén ayuda con AirPlay y la Duplicación de AirPlay ... - Apple Support, hay varias instrucciones si se tienen problemas con AirPlay.
Por lo de no poder iniciar sesión en el Apple TV con tu ID, al no ser el Apple TV 1 compatible de forma nativa con la autenticación de doble factor, debes introducir en el campo "contraseña" tu contraseña seguida del código de verificación que te aparece en tu otro dispositivo. Todo seguido, sin espacios.
Si tienes dificultades, contacta con el soporte técnico de Apple para obtener ayuda. Desde este enlace puedes hablar con ellos: Contactar con el Soporte técnico de Apple. Escoge tu región en la zona inferior de la página.
Y aquí: Ponerse en contacto con Apple, están los teléfonos del soporte técnico de Apple en todo el mundo. Llama al más cercano a tu región.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!