Hola annieari!!
Si el sistema aceptó tu método de pago pero no puedes descargar nada del App Store, puedes probar varias cosas.
Asegúrate que tienes iniciada sesión correctamente en al App Store. Lo podrás ver en los Ajustes del dispositivo, iTunes Store y App Store, tu ID. Si tu ID aparece en color azul, púlsalo y selecciona cerrar sesión. Apaga el iPhone, enciéndelo pasados un par de minutos y vuelve a iniciar sesión en el iTunes Store y Apps Store, en los Ajustes del dispositivo, iTunes Store y App Store.
Verifica también que la región, la fecha y la hora son las correctas. Lo podrás ver desde los Ajustes del dispositivo, General.
Comprueba que la conexión a internet de tu iPhone es buena y fluida. Haz un test de velocidad para comprobarlo.
Si tienes algún tipo de problema de facturación con alguna compra anterior deberás solucionar ese problema, hacer la descarga que quieras y después podrás poner "Ninguno" como método de pago, si así lo deseas.
En esta web de Apple: Formas de pago que puedes usar en el iTunes Store ... - Apple Support, están los métodos de pago aceptados por Apple.
En esta otra web oficial: Cambiar o eliminar la información de pago de tu Apple ID - Soporte ..., están las instrucciones de como cambiar los datos de tu método de pago.
Al hacer modificaciones en tu método de pago es posible que se te apliquen unas retenciones de autorización. Son pequeños importes para verificar el método de pago. Una vez verificado el método de pago dichas retenciones se te devolverán. En esta web de Apple tienes más información: Acerca de las retenciones de autorización de las ... - Apple Support
En esta web de Apple: Si se rechaza el método de pago o tienes un problema - Apple Support, hay instrucciones de qué hacer si tienes problemas con el método de pago.
Y aquí: Si no puedes seleccionar Ninguno al editar la información de pago ..., hay varias instrucciones de qué hacer si no puedes seleccionar el método de pago "Ninguno".
Comprueba también que no tengas activadas las restricciones. Lo puedes ver desde los Ajustes del dispositivo, General, Restricciones.
Si tienes dificultades, contacta con el soporte técnico desde este enlace: iTunes - Soporte técnico oficial de Apple
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!