Hola Sanmi!!
Si quieres borrar muchos de los correos de una cuenta de correo, basta con que entres en esa cuenta, pulses en "Seleccionar" de arriba a la derecha y marques todos los correos que desees eliminar. Por último, pulsa en "Eliminar" de la zona inferior.
Si no quieres borrar los correos de una cuenta, pero quieres que no aparezcan en tu iPhone, acorta el tiempo de sincronización de las cuentas de correo que desees. Para ello, ve a los Ajustes del dispositivo, Cuentas y contraseñas, Cuentas. Si entras en cada una de tus cuentas, en algunas encontrarás la opción "días sincronizados". Si acortas el tiempo se guardarán menos correos en el dispositivo, ahorrando memoria. Los mails no se borrarán de tu cuenta de correo, sólo que no se descargarán en tu dispositivo.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!