Hola joandecaceres!!
¿Qué versión de iOS tiene tu iPhone?. Lo podrás ver desde los Ajustes del iPhone, General, Información, Versión.
Puede que no se guarden las notas por falta de espacio, o en el iPhone, o en iCloud.
¿De qué capacidad es y cuanto espacio libre le queda?. Lo podrás ver desde los Ajustes del iPhone, General, Almacenamiento del iPhone.
¿Qué plan de iCloud tienes y cuanto espacio libre te queda?. Lo podrás ver desde los Ajustes del iPhone, tu ID, iCloud.
Verifica que tienes activadas las notas en iCloud. Lo podrás ver desde los Ajustes del iPhone, tu ID, iCloud.
Verifica qué cuenta por omisión tienes configurada desde los Ajustes del iPhone, Notas.
Saludos!!