Hola PaulaGonzalez
El tema de que no se apague la pantalla, tiene que ver con el sensor de proximidad.
Los problemas con el sensor de proximidad pueden deberse a problemas de hardware (cambio de pantalla u otras razones), pero lo primero es descartar problemas de software.
No se con que sistema operativo cuenta tu iPhone en este momento, pero si no lo has actualizado, te recomendaría que lo hicieras para ver si se soluciona el problema.
Si lo tienes actualizado, puedes probar forzando el reinicio
- En un iPhone X, iPhone 8 o iPhone 8 Plus: pulsa y suelta rápidamente el botón para subir el volumen. Pulsa y suelta rápidamente el botón para bajar el volumen. Luego, mantén pulsado el botón lateral hasta que aparezca el logotipo de Apple.
- En un iPhone 7 y un iPhone 7 Plus: mantén pulsados el botón lateral y el de disminución de volumen durante al menos 10 segundos, hasta que veas el logotipo de Apple.
- En un iPhone 6s y anterior, un iPad o un iPod touch: mantén pulsados el botón de inicio y el superior (o lateral) durante al menos 10 segundos hasta que veas el logotipo de Apple.
Si no se soluciona con esto, puedes intentar arreglarlo restaurándolo con iTunes en un ordenador:
Primero haz copia de seguridad para no perder tus datos
Cómo hacer una copia de seguridad del iPhone, iPad y iPod touch - Soporte técnico de Apple
Restaura a valores de fábrica
Restaurar tu iPhone, iPad o iPod a los ajustes de fábrica - Soporte técnico de Apple
Restaura luego la copia de seguridad que has hecho anteriormente
Restaurar el iPhone, iPad o iPod touch desde una copia de seguridad - Soporte técnico de Apple
Si no funciona tampoco, entonces tendrás que llevarlo a revisar.
iPhone Centro de respuestas de Servicio - Soporte técnico de Apple
El tema de la batería, puedes comprobar si tu iPhone entra en el programa de cambio de batería de Apple, ya que si es así, te costará menos de lo que cuesta habitualmente si la cambias en una Apple Store. Depende del modelo que tengas.
Te dejo la información de España, que es mi país, aunque no se si vives aquí. Si no es así, háznoslo saber.
iPhone Precios del servicio - Soporte técnico de Apple
Servicio de batería - España
Es posible que el servicio de batería del iPhone esté cubierto por la garantía, un plan de AppleCare o la ley de defensa del consumidor. Si no es así, tendrás que pagar una tarifa por servicio de la batería fuera de garantía, como se muestra a continuación.
Servicio de batería En garantía o con AppleCare Fuera de garantía iPhone SE,
iPhone 6, iPhone 6 Plus,
iPhone 6s, iPhone 6s Plus,
iPhone 7, iPhone 7 Plus,
iPhone 8, iPhone 8 Plus,
iPhone X0 € 29 € * Todos los demás modelos elegibles 0 € 89 €
* Hasta el 31 de diciembre de 2018, el servicio de batería fuera de garantía tiene un coste de 29 € para todos los modelos de iPhone 6 o posteriores elegibles. El servicio de batería a 29 € puede estar limitado a una reparación por iPhone.
Todos los precios están en euros e incluyen el IVA. Cobraremos una tasa por envío de 12,10 € si necesitamos enviar tu iPhone.
Un saludo