Hola Píxel89!!
Prueba primero de hacerle un reinicio forzado: mantén pulsados los botones de activación/reposo y el botón de inicio durante, al menos, diez segundos hasta que veas el logotipo de Apple.
Si no se enciende, echa un vistazo a esta web de Apple: Si el iPhone, el iPad o el iPod touch no se enciende - Soporte técnico de Apple
Hay varias instrucciones para intentar solucionar el inconveniente.
Al final de la página pone que contactes con el soporte técnico de Apple si no lo consigues resolver.
Por lo de cambiarle la batería y cuanto puede costar, tienes varias opciones.
Cambiarle la batería por una original en una Apple Store o centro autorizado. Para saber el precio en ese caso, mejor llama a una Apple Store o contacta con el soporte técnico de Apple y nos cuentas.
El resto de opciones no te las recomiendo. Puedes comprar por internet una batería y cambiarla tu, o puedes ir a una tienda no oficial y que te la cambien. Pueden ser opciones más baratas, pero te pueden dar problemas de funcionamiento o de compatibilidad.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!