Impossible de contacter le serveur iMessage

Bonjour,

Depuis quelques jours, alors que tout fonctionnait bien avant (depuis 1 à 2 ans, je sais plus!) l'ipod Touch 6 (iOS 9.3.5, 60Go, 37Go libres) de ma petite fille ne veut plus envoyer (ni recevoir) de imessage:

Il demande à chaque fois de se reconnecter et de réintroduire l'identifiant et le mot de passe et après de (très) longues secondes, on reçoit le message "impossible de contacter le serveur imessage"

Idem pour FaceTime d'ailleurs ("impossible de contacter le serveur FaceTime").

L'identifiant et le mot de passe sont évidemment corrects et fonctionnent sur iCloud et l'appstore.

J'ai essayé de créer un nouvel identifiant, modifier les réglages date et heure dont on parle sur plusieurs sites, désactiver iMessage et FaceTime puis redémarrer l'iPod et activer à nouveau iMessage et FaceTime, etc.. Rien n'y fait. Il en veut pas!

Pouvez-vous m'aider?

Merci.

Mon frère à le même problème avec un iPhone 5.

Petite réflexion: tous les deux sont sous iOS 9.3.5 (depuis plusieurs mois) mais cela fonctionnait jusqu'il y a 3-4 jours.

l'ipod Touch ne permet pas d'installer un iOS plus récent. (max: 9.3.5)

Nous n'avons rien changé (réglages, mise à jour, nouveau programme, ...) depuis longtemps, ni sur l'ipod de ma petite fille, ni sur l'aphone de mon frère.

Help!