Bonjour, j'ai exactement le même problème depuis le 20 novembre 2020 (date de l'achat de mon stick) !
J'ai voulu profiter de ma période d’essai de 1 an à TV sur mon Amazon Fire Stick 4K (acheté exprès pour ça) et j'ai exactement le même message d'erreur à chaque tentative de connexion :

J'ai ce message si j'essaie de me
- "connecter sur appareil mobile",
- "connecter sur cette TV"
- ou si j'essaie de "créer un identifiant Apple".
J'ai contacté Amazon par tchat et après toute une batterie de tests, de réglages et redémarrages, ils m'ont dit de contacter Apple...
J'ai le dernier firemware à jour, c'est à dire Fire OS 6.2.7.6 (NS6276/2933) et la dernière version de l'app Apple TV (5.1) téléchargée officiellement sur l'Amazon Appstore. Je n'utilise pas de VPN et toutes les autres applications de streaming à la demande fonctionnent très bien (Netflix, Disney+, Prime Video, Molotov).
Apple, merci de nous aider ou de sortir un mise à jour de votre application (qui date du 3 novembre) et qui semble être buguée sur les Fire Stick 4K.