Boa tarde Rebeckabeka, tudo bem?
Verifique se existe algum aplicativo que está para ser atualizado. Qualquer aplicativo que está na lista de atualização, exclua.
Com isso, ele deve parar de pedir sua senha o tempo todo.
Agora, em relação a não conseguir utilizar a App Store, verifique seus dados de pagamento, verifique se sua conta não foi desativada por motivo de segurança e verifique se está usando conexão Wi-Fi.
Se mesmo assim não funcionar, como App Store é um aplicativo nativo na Apple, seria necessária a restauração do aparelho.
Espero ter ajudado! E rola um D20!
AppleGorgon