Boa tarde TPrimon, tudo bem?
A AppleTV 3a geração é um dispositivo um pouco mais antigo da Apple. Eu recomendo você a ligar no suporte 0800-761-0880 para verificar se você ainda é elegível para reparo de hardware. A Apple repara aparelhos até 5 anos após a data de compra, então você já deve saber se é ou não é elegível.
No caso de ser elegível para suporte, dá uma ligada lá e faça alguns testes. Eu acredito que seja problema de Hardware mesmo, entretanto pode haver algumas soluções.
Coletei 3 artigos da Apple para te ajudar:
https://support.apple.com/pt-br/HT200197
https://support.apple.com/pt-br/HT201836
https://support.apple.com/pt-br/HT202118
Espero ter ajudado, e rola um D4!
AppleGorgon