Você já tentou reiniciar o aparelho?
Já tentou alternar entre os dados móveis e o Wi-Fi quando tenta descarregar?
Ao tentar atualizar um App sem entrar na App Store, você tem êxito (como mostrado nesse link -> Se não conseguir descarregar e atualizar as apps ou se estas bloquearem - Suporte Apple)
Você pode também tentar "relogar" no seu ID Apple (sign-out - sign-in)
Tenta ai e avisa aqui o resultado