Oi Isabela,
Eu acredito que você deve estar com As Restrições ativadas no seu iPhone e elas devem estar bloqueando o funcionamento do Podcasts, tente desativar as Restrições (em Ajustes > Geral > Restrições) e tente usar o Podcasts depois.
Veja esse link para saber mais sobre as Restrições: Usar os controles parentais no iPhone, iPad e iPod touch - Suporte da Apple
Boa sorte