Olá Vipfox,
Você diz que não consegue mais alugar filmes na Apple TV, mas sim no iPhone com a mesma conta, certo?
Veja primeiro se as Restrições da Apple TV não estão impedindo o aluguel ou compra de filmes, pelas dúvidas se as Restrições estiverem habilitadas, desative-as e tente alugar um filme, esse link explica como: Usar as Restrições na Apple TV - Suporte da Apple
Tente também atualizar Apple TV: Atualizar o software da Apple TV - Suporte da Apple
E por último, se o anterior não funcionar, tente Restaurar a Apple TV às configurações de fábrica: Restaurar a Apple TV para os ajustes de fábrica - Suporte da Apple
Espero ter ajudado