Auch wenn es jetzt wahrscheinlich reichlich spät ist, aber vielleicht stößt ja jemand auf ein ähnliches Problem.
USB-Stick mit mindestens 8GB Speicherkapazität kaufen, kostet heutzutage nur ein Apple (kleines Wortspiel) und ein Ei. An den Mac anschließen und im gezeigten Fenster das Festplattendienstprogramm auswählen.
Im Festplattendienstprogramm, falls noch nicht angezeigt, über das Menü 'Alle Geräte anzeigen' auswählen. Den USB-Stick auswählen (nicht die Partition auf dem USB-Stick) und "Löschen" anklicken. Nun irgendeinen Namen eingeben, ich habe einen möglichst kurzen gewählt, das Format auf 'Mac OS Extended (journaled)' einstellen und unter Schema 'GUID-Partitionstabelle' auswählen. Jetzt auf 'Löschen' klicken.
Der USB-Stick wird jetzt gelöscht und gleichzeitig wird eine Partition über die gesamte Größe des USB-Sticks angelegt.
Das Festplattendienstprogramm kann jetzt beendet werden.
NAch einem Neustart landet man wieder im gezeigten Fenster, hier wählt man nun 'macOS erneut installieren' und klickt auf Fortfahren. Im nächsten Fenster ebenfalls auf 'Fortfahren' klicken und den Lizenzbestimmungen zustimmen. Nun kommt man zur Auswahl des Zielvolumes. Hier sollte nun neben der Macintosh HD auch der USB-Stick auftauchen. Nun wählt man den USB-Stick als Ziel und lässt macOS darauf installieren.
Nach Abschluss der Installation sollte der Mac vom USB-Stick starten, falls nicht muss er über das Festplattendienstprogramm noch als Startmedium festgelegt werden. Spätestens jetzt sollte der Mac vom USB-Stick booten und man kann seine Daten sichern.
Ist die Sicherung erledigt, kann die eigentliche Installation auf der internen HDD ohne Sorge um die Daten vorgenommen werden.