Dann würde ich das Gerät auf die Werkseinstellungen zurücksetzen. Dabei installiert iTunes eine komplett neue Version von iOS, damit wäre man sicher, dass kein Softwareproblem vorliegt. Das Gerät erst einmal ohne Backup einrichten, dann sollte man schon sehen, ob die Anmeldung klappt. Hat es funktioniert, dann das letzte Backup zur Wiederherstellung benutzten.
iPhone, iPad oder iPod touch auf die Werkseinstellungen zurücksetzen - Apple Support