E-Mails werden über IMAP des jeweiligen Anbieters synchronisiert. D.h. wenn Du auf Gerät A eine e-Mail z.B. löscht, wird das Löschen direkt auf dem Server des Mailanbieters durchgeführt. Das Gerät B prüft entweder regelmäßig, ob es eine Änderung auf dem Mailserver gibt oder es bekommt eine Pushmeldung, dass es eine Änderung gibt. Daraufhin aktualisiert Gerät B die Mails.
Wenn dies bei Dir nicht funktioniert, dann prüfe zunächst einmal, ob es sich um einen IMAP-Server handelt:
Einstellungen - Passwörter & Account - auf den Account klicken
Hier sollte oben IMAP stehen.
Unter
Einstellungen - Passwörter & Account - Datenabgleich
kannst Du auch erkennen, ob eine Push oder Abrufen aktiviert ist. Des Weiteren kannst Du einstellen, wie oft die Mails abgerufen werden.
In Mail selber kannst Du den Abruf auch manuell durchführen, indem Du das Fenster nach unten ziehst.
Du kannst auch noch auf der Webseite des e-Mail - Anbieters überprüfen, ob die Mail auf dem Server gelöscht ist.