Das eine hat wahrscheinlich mit dem anderen nichts zu tun.....
Es ist auch ziemlich schwierig hier eine Prognose abzugeben, da wir per Ferndiagnose nicht wirklich feststellen können, was deinem Mac fehlt.
Der Batterietausch ist noch relativ preisgünstig - wenn auch nicht ganz einfach, weil die Akkuzellen verklebt sind.
Wenn es nur darum geht, ist die Reparatur in jedem Fall wirtschaftlicher als ein Neukauf.
Jetzt bleibt noch die Frage, was sonst noch defekt sein könnte. Vermutlich wird der Dauerlauf des Lüfters einfach durch irgendeinen Dienst ausgelöst, der im Hintergrund läuft und kräftig Energie zieht. Das kann an Catalina liegen - das bringt ältere Macs (und gerade die Air-Modelle) schnell an ihre Grenzen....
In Summe: bevor wir nicht wissen, was eigentlich alles defekt ist, ist eine vernünftige Prognose reine Kaffeesatzleserei.
Um diese Frage beantworten zu können, wirst du um eine Diagnose und ein Reparaturangebot nicht herumkommen.