Hallo Chris!
Bekommst du denn auf dem Apple TV 3 überhaupt eine Aufforderung den Code für die Zwei-Faktor-Authentifizierung einzugeben? Normalerweise ist das bei älteren Geräten so, dass man den Code für die Zwei-Faktor-Authentifizierung direkt nach dem Passwort eintragen muss. Machst du das so?
Zwei-Faktor-Authentifizierung für die Apple-ID
Wenn du die Zwei-Faktor-Authentifizierung auf einem Gerät mit älteren OS-Versionen, z. B. Apple TV (2. oder 3. Generation) verwendest, wirst du beim Anmelden möglicherweise dazu aufgefordert, deinen sechsstelligen Bestätigungscode an dein Passwort anzuhängen. Lasse deinen Bestätigungscode auf einem vertrauenswürdigen Gerät mit iOS 9 und neuer oder OS X El Capitan und neuer anzeigen oder an deine vertrauenswürdige Telefonnummer senden. Gib dann dein Passwort gefolgt vom sechsstelligen Bestätigungscode direkt in das Passwortfeld ein.
Ich hoffe, dass dir diese Schritte weiterhelfen können.
Liebe Grüße!