Meine emails werden nur über wlan abgerufen. Mit mobile Daten kommt die Meldung: „Accountfehler“.

..allerdings nur bei Nutzung von IMAP. Das Protokoll ist zwar etwas antik, wird aber leider hier und da noch verwendet.

(Das wäre dann POP3 und das holt die Mails im Regelfall ab und löscht sie dann vom Server...)

Sollte man vorher checken.

Moin,

dann würde ich den Account mal entfernen und neu einrichten.

Sh. E-Mail-Account auf dem iPhone, iPad oder iPod touch hinzufügen - Apple Support (DE)

Moin,

in der Regel nicht, da die Mails auf dem Server des Anbieters gespeichert sind.