Hier wäre es vor allem wichtig, zu wissen, um was für ein MacBook Air (Typ/Modelljahr) es sich handelt und welche Version von macOS/OSX installiert war. Gerade bei alten Modelle unterscheiden sich die Wiederherstellungsoptionen erheblich von denen der aktuellen Macs.
Er scheint zumindest eine Wiederherstellungspartition zu haben (OSX Base System).
Was ich nicht verstehe: wenn du Macintosh HD gelöscht hast, wird dieses Volume neu formatiert, d.h. unmittelbar neu, mit dem gleichen Namen aber eben "leer" wieder angelegt. Mir ist nicht klar, wie du es geschafft hast, das Volume komplett von der Platte zu entfernen.
Probieren wir mal die Internet-Wiederherstellung aus: Schalte den Mac bitte aus und starte ihn mitgedrückten cmd+alt+R-Tasten erneut. Die Tasten halten, bis ein sich drehender Globus erscheint. Dann mit deinem Netzwerk verbinden...jetzt sollte der Download der letzten für deinen Mac verfügbaren Version von OSX/macOS starten....