Kannst du denn ungefähr sagen, wie voll dein iPhone-Speicher ist?
Bei wenig freiem Speicherplatz, kann das iPhone nämlich so ein Fehlverhalten zeigen.
Erzwinge am besten nochmal einen Neustart und schau ob dies das Problem behebt.
Falls das Problem bzw. der Fehler weiterhin bestehen sollte, dann würde ich das iPhone mithilfe eines Mac‘s oder PC‘s zurücksetzen.
Die Anleitungen dazu findest du in meinem ersten Beitrag weiter unten.
Falls der Mac/PC das iPhone nicht erkennen sollte, dann kannst du versuchen das iPhone mithilfe dieser Anleitung in den Wiederherstellungsmodus zu versetzen:
Update oder Wiederherstellung des iPhone oder iPod touch nicht möglich - Apple Support (DE)
Wichtig: wenn du das iPhone mithilfe eines Computers zurücksetzt, werden alle deine Daten vom Gerät gelöscht.
Die meisten deiner Daten werden aber in der iCloud gesichert, welche später automatisch wieder auf das iPhone übertragen werden.
Fotos werden ebenso übertragen, wenn zuvor iCloud-Fotos aktiviert war.