Hallo,
ich würde zunächst nichts Weiteres im Schlüsselbund löschen. Wahrscheinlich ist der Mail-Account nicht vollständig vom Mac entfernt worden, sondern unter den Internetaccounts noch vorhanden.
Schau bitte zuerst unter
→ Systemeinstellungen → Internetaccounts
nach, ob der betreffende Account dort noch aufgeführt wird.
Falls ja, öffne ihn und prüfe, ob Mail für diesen Account aktiviert ist. Ist Mail dort ausgeschaltet, aktiviere es wieder und öffne anschließend die Mail-App.
Damit könnte sich auch erklären, warum beim erneuten Hinzufügen die Meldung erscheint, dass der Account bereits existiert.
Die fehlenden Eingänge unter „Favoriten“ lassen sich anschließend separat wiederherstellen. Öffne Mail und blende gegebenenfalls über Darstellung → Seitenleiste einblenden die Seitenleiste ein. Im Bereich Favoriten kannst du über das Plus-Symbol beispielsweise „Alle Eingänge“ wieder hinzufügen.
Falls mit dem verschwundenen Mailkastensymbol das Symbol der Mail-App im Dock gemeint ist: Das bedeutet nicht, dass Mail gelöscht wurde. Öffne Mail über den Ordner Programme oder über Spotlight. Sobald Mail läuft, kannst du das Symbol im Dock mit Rechtsklick → Optionen → Im Dock behalten wieder dauerhaft ablegen.
Die Mail-App selbst würde ich an dieser Stelle nicht neu installieren oder „aktualisieren“. Sie gehört zu macOS und wird zusammen mit macOS aktualisiert.
Falls der betroffene Account unter Internetaccounts überhaupt nicht erscheint, wäre als Nächstes interessant, bei welchem Anbieter die Mailadresse liegt – beispielsweise iCloud, Telekom, GMX, Web.de oder Gmail. Dann lässt sich gezielt prüfen, warum macOS den Account trotzdem noch als vorhanden erkennt.
Zum Nachlesen: Apple Support, Mac-Benutzerhandbuch „E-Mail-Accounts in der App Mail auf dem Mac hinzufügen und verwalten“ sowie „Verwenden von Favoriten-Postfächern in Mail auf dem Mac“.