Hallo AlterHase54,
das Muster mit dem erst nachträglich ertönenden Empfangston beim Senden ist interessant. Die Tonausgabe selbst scheint grundsätzlich zu funktionieren. Ich würde deshalb zunächst prüfen, ob Mail neue Nachrichten tatsächlich sofort vom Server abruft und ob macOS die Mail-Mitteilungen einschließlich Ton korrekt zulässt.
Unter Mail > Einstellungen > Allgemein sollte „Nach neuen E-Mails suchen“ auf „Automatisch“ stehen. Prüfe dort außerdem den „Ton für neue E-Mails“ sowie bei „Mitteilungen bei neuen Nachrichten“, ob das gewünschte Postfach beziehungsweise der Posteingang ausgewählt ist. Sichtbare Mail-Mitteilungen müssen zusätzlich in den Systemeinstellungen erlaubt sein.
Danach würde ich unter Systemeinstellungen > Mitteilungen > Mail Folgendes kontrollieren:
• „Mitteilungen erlauben“ aktivieren und als Hinweisstil „Banner“ oder „Warnhinweise“ wählen.
• „Ton für Mitteilung abspielen“ einschalten.
• „Mitteilungen im Sperrbildschirm“ und „In Mitteilungszentrale anzeigen“ aktivieren.
• Ganz oben in den Mitteilungseinstellungen außerdem „Mitteilungen im Display-Ruhezustand erlauben“ und „Mitteilungen bei gesperrtem Bildschirm erlauben“ prüfen. Gerade diese Einstellungen könnten erklären, warum bei aktivem Bildschirmschoner keine Mitteilung erscheint.
Anschließend würde ich den Mac einmal neu starten und mir von einem anderen Account eine Testmail schicken, ohne Mail vorher anzuklicken oder selbst etwas zu versenden. Kommt die Nachricht jetzt sofort samt Ton an, lag es vermutlich an einer der Abruf- oder Mitteilungseinstellungen.
Bleibt der Empfangston dagegen weiterhin bis zum nächsten Versand „hängen“, würde ich an dieser Stelle gezielt weiter eingrenzen und nicht gleich Accounts löschen oder Mail neu einrichten.
Beim App Store würde ich unabhängig davon ebenfalls unter Systemeinstellungen > Mitteilungen > App Store prüfen, ob „Badge des App-Symbols“ aktiviert ist. Darüber steuert macOS die Zahlen auf App-Symbolen.
Zum Nachlesen bei Apple:
Mac-Benutzerhandbuch: „Mitteilungseinstellungen auf dem Mac“
Mail-Benutzerhandbuch: „Ändern der Einstellungen im Bereich ‚Allgemein‘ in Mail auf dem Mac“
Viele Grüße
PreCognition