Ok. He echo pruebas con Safari y no se me corta la reproducción del vídeo cuando bloqueo la pantalla. Lo he probado con la duplicación de pantalla en el Apple TV.
Quizás en el tuyo se deba a que la web que visitas no permita la reproducción de vídeo en segundo plano. Contacta con el soporte técnico de la web que visitas para preguntarles.
Si crees que puede ser problema de software, restaura el iPhone y el Apple TV con iTunes en un ordenador. Pero antes, contacta con el soporte técnico para preguntarles del porqué te ocurre lo que comentas.
Ya nos contarás que tal te ha ido.
Saludos!!