¿Solo te pasa con Safari? ¿Hay alguna aplicación que necesite Internet o datos móviles para funcionar?
¿Y tienes activado Asistente para Wifi? está debajo de las aplicaciones en Datos móviles. Suele venir activado por defecto y realiza automáticamente la conexión de datos móviles, si no tienes wifi o la señal es débil.
Acerca de Asistencia para Wi-Fi - Soporte técnico de Apple
También puedes comprobar los ajustes de Ajustes-Privacidad-Localización-Servicios del sistema (Búsqueda de red móvil)
Supongo que ya has intentado reiniciar y que tienes tu dispositivo actualizado a la última versión.
Lo que te pasa puede suceder por muchas cosas y hay muchas soluciones que puedes intentar.
Desde borrar historial y datos de sitios web, hasta restaurar ajustes de red o restaurar tu dispositivo. Tampoco hay que descartar algún problema con la SIM. Todo depende si es un problema que te sucede solo con una aplicación o con todas.
Puedes intentar probar con algunas cosas, o ponerte en contacto con el soporte técnico de Apple específico para Safari y hablar con ellos para que te ayuden a averiguar donde puede estar el problema que tienes en este momento
Safari - Soporte técnico oficial de Apple
Un saludo