En ajustes...
En iTunes & AppStore tienes una cuenta.
En tu AppleID tienes otra.
Esto no debería haber pasado nunca (una persona = appleID) porque ahora te toca decidir con cual te quedas (generalmente el que tiene las compras asocidadas).
Así que del otro sales de la sesión y entras con los credeciales correctos.
De todas maneras si te pide las contraseñas del otro usuario cuando actualizas es porque en la AppStore tienes unos credeciales diferentes a los del AppleID que realizaron la compra.
Del que no vayas a usar accede a https://appleid.apple.com/ y en el aparato de privacidad pide borrar la cuenta.