Hola pipa_18!!
Si una app te pide el ID anterior para actualizarla, bórrala y vuélvela a descargar del App Store.
Si tienes iniciada sesión en el App Store con tu nuevo ID, las apps que descargues ya estarán registradas con tu nuevo ID.
Si la app en cuestión permite guardar datos en iCloud, asegúrate que efectivamente la app está activada en iCloud, para que no pierdas las información.
Lo podrás ver desde los Ajustes del iPhone, tu ID, iCloud, Almacenamiento, Gestionar almacenamiento, Copias de seguridad. Que la app en cuestión esté activada.
Y si en los ajustes de la propia app permite hacer una copia de seguridad, mejor que la hagas.
Al volver a instalar la app, toda la información de iCloud debería volver a la app.
Prueba y nos cuentas.
Saludos!!