Comentarte que buscando en otros post de la Comunidad de Apple, parece que no es posible actualmente poner una foto personalizada en el perfil de Game Center.
Tras iOS 10, se eliminó el antiguo Game Center y actualmente es principalmente un servicio de conexión que los desarrolladores de aplicaciones en iOS utilizan para gestionar cuentas y logros, y en dichos juegos, son los propios desarrolladores los que tienen que posibilitar la opción de (dentro del mismo juego) personalizar tu foto de perfil.
En el enlace (Usar Game Center para jugar con amigos), en el punto 6, indican que únicamente puedes utilizar Memojis en tu foto de perfil en Game Center
En resumen, Game Center solo te permite usar Memojis como imagen de perfil actualmente.
Espero haberte ayudado a resolver la duda que tenías pese a que no es posible hacer lo que proponías inicialmente.
Gracias por utilizar la Comunidad de Soporte de Apple 👨🏼💻,
Un saludo.
(Gracias a rgarciaa por esta respuesta tan acertada, todos los créditos son suyos!!!)