Mail no me notifica los correos nuevos hasta que no entro en la app

Dentro de la App Mail tengo configuradas 2 cuentas, una iCloud y otra Gmail. Ambas las tengo con las notificaciones activadas y con la personalización en ambas con avisos, globos y tiras activadas. Aún así, hasta que no me meto dentro de la aplicación, no me sale ninguna notificación. Cuando me meto dentro de la aplicación, ni si quiera me suena el tipo de tono que tengo configurado para sus notificaciones, "Acorde" en mi caso. También tengo configurado la app Mail como la app por defecto para correos eletrónicos. Ya no sé qué más hacer. No sé si se trata de un bug de la propia app.