«OS X Base System» c'est juste la partition de récupération. Elle apparaît quand vous démarrez en appuyant sur les touches Commande + R ou Option + Commande + R. Il est normal de ne pas pouvoir installer macOS sur cette partition.
D'après vos captures d'écran, votre MacBook Air ne possède aucun disque qui soit compatible avec le système macOS (sinon, il serait apparu dans la liste à côté d'«OS X Base System»). À mon avis, quand vous avez effacé votre disque interne avec l'Utilitaire de disque, vous avez choisi un format incompatible, type «MS-DOS FAT» ou «ExFAT» (ce sont des formats Windows). Effacez votre disqueinternede nouveau, en choisissant cette fois le format «Mac OS étendu (journalisé)».