Bonjour dorothée-7 et bienvenue dans la Communauté Apple !
Ta version d'OS X commence à être assez ancienne mais tu devrais quand même être en mesure de la réinstaller.
Un des détails de ton message me fait penser que le souci vient soit de l'identifiant Apple que tu veux utiliser pour réinstaller Lion soit de ta connexion Internet.
Pour ce qui est de l'identifiant, est-ce que celui que tu entres est l'identifiant Apple qui a été utilisé pour installer Lion la première fois ? Et as-tu vérifié si tu arrives à te connecter à iCloud.com avec ce même identifiant ? Si tu arrives à te connecter, ça écarte la possibilité d'un problème de mot de passe par exemple.
Comme ton Mac te dit qu'il ne peut pas se connecter à l'App Store, il y a possiblement un souci de communication avec le réseau. Je te conseille donc de redémarrer ta box Internet et à essayer de nouveau. Si tu es connectée en Wi-Fi, ça vaut le coup de te brancher directement à ta box avec un câble Ethernet pour éviter toute interférence.
N'hésite pas à revenir vers nous avec des informations supplémentaires pour que la Communauté puisse t'aider davantage.
Bonne journée !