Bonjour Mayna_
J'ai fait quelques recherches et j'ai lu à plusieurs endroits que l'Apple TV 1ère génération n'est pas compatible AirPlay. donc c'est du coup peut-être normal que ça bug, ce n'est pas officiellement supporté par Apple.
Après ce serait dommage vu que votre Apple TV fonctionne bien, mais si c'est une première génération, vous pourriez envisager une mise à jour, les nouvelles Apple TV sont incroyables par rapport aux toutes premières ;-)
Ceci dit, pour revenir à votre souci, essayez de contacter l'assistance officielle Apple, ils ont peut-être une astuce.
Bonne journée !