Bonjour marie-helene684, l'application Mail de l'iPhone fonctionne avec une connexion internet, si vous avez retiré la sim de l'ancien l'iPhone et qu'il est connecté en Wi-Fi l'application Mail continue à fonctionner et vous pourrez toujours consulter les mails.
Pour l'application Message c'est pareil, celle-ci peut fonctionner uniquement avec le Wi-Fi et votre identifiant Apple, et si vous utilisez un "nouvel" iPhone l'application Message se synchronise sur les deux iPhone (option Message activée dans le réglage iCloud des deux appareils).
Si vous ne voulez plus que l'ancien affiche les mails il faut supprimer les boites mails manuellement de l'iPhone, pour les messages (SMS) il faut déconnecter votre compte Apple de l'iPhone.
Dans le cas ou vous cédez l'iPhone à une autre personne il faut réinitialiser l'iPhone afin d'effacer tout son contenue.
Titicool