Podem ser diversos fatores que estejam causando isso no seu iPhone.
Primeiramente verifique se ele esta carregando ou com carga no aparelho, depois realize esses procedimentos:
Se o iPhone, iPad ou iPod touch não ligar - Suporte da Apple
Resumindo, primeiro faça uma reinicializado forçada que no caso do seu iPhone 6 você precisa segurar os botões Home e o de Repouso na lateral até aparecer o símbolo da apple no aparelho dai você solta e verifica se o aparelho reinicia normalmente.
Caso volte a desligar antes de reiniciar será preciso fazer uma restauração em Modo de Recuperação do seu aparelho seguido o artigo acima, caso apresente algum erro na restauração ligue para o suporte da Apple: 0800 761 0880 e relate o erro.
Por ultimo, caso nao resolva, seu aparelho precisa de reparos de hardware e você pode levar em uma autorizada da apple:
Autorizadas - https://locate.apple.com/br/pt/
Ou ligue no suporte e peça para enviar para reparos por correios.
Obs. Caso o aparelho não esteja mais na garantia, será cobrado o valor de reparos.
Espero ter ajudado
Bons dias.