O Game Center no iPhone não mostra uma lista explícita de cada jogo, ele funciona mais como um hub central para seu progresso usando seu ID Apple. Se o Brawl Stars não carregou sua conta, o mais comum é que você esteja logado no Game Center com um ID Apple diferente do que usava antes, ou o jogo esteja esperando que você faça login com um Supercell ID, que é a forma principal de salvar o progresso para muitos jogos deles. A primeira coisa a fazer é ir em Ajustes > Game Center e confirmar qual ID Apple está conectado ali e se é o correto. Depois, dentro do próprio Brawl Stars, procure nas configurações do jogo por uma opção de Supercell ID e tente fazer o login. Se mesmo assim não carregar, vale a pena reiniciar o iPhone para "refrescar" tudo.